Partialbruchzerlegung

Bei der Partialbruchzerlegung wird eine echt gebrochenrationale Funktion (Nennergrad kleiner Zählergrad) in eine Summe von möglichst einfachen Bruchtermen zerlegt. Die Partialbruchzerlegung wird speziell bei der Integration von gebrochenrationalen Funktionen angewendet.

allg.: f(x) = g(x)/h(x)


Vorgehen bei der Partialbruchzerlegung

1. Ist der Nennergrad der gebrochenrationalen Funktion größer als der Zählergrad, so muss eine Polynomdivision durchgeführt werden.

2. Für die unterschiedlichen Fälle muss ein geeigneter Ansatz aufgestellt werden.

a) Nennerpolynom mit einfachen rellen Nullstellen

Nullstellen: x1, x2,..., xn
Ansatz: f(x) = A1/(x-x1) + A2/(x-x2) + ... + An/(x-xn)

b) Nennerpolynom mit mehrfacher reller Nullstellen

Nullstellen: x1, x2,..., i-fache Nullstelle xk
Ansatz: f(x) = A1/(x-x1) + A2/(x-x2) + ... + B1/(x-xk) + B2/(x-xk)2 + ... + Bi/(x-xk)i

c) Nennerpolynom mit einfacher komplexer Nullstelle

Nullstellen: x1, x2,..., zk (komplexe Nullstelle)
Hat das Zählerpolynom außschließlich relle Koeffizienten, so ist auch zk* (komplex konjugierte Zahl zu zk) eine Nullstelle
Ansatz: f(x) = A1/(x-x1) + A2/(x-x2) + ... + (Bx + C)/(x2 + ax + b)
(Nullstellen von x2 + ax + b sind zk und zk*)

d) Nennerpolynom mit mehrfacher komplexer Nullstelle

Nullstellen: x1, ..., zk (i-fache komplexe Nullstelle)
Ansatz: f(x) = A1/(x-x1) + ... + (B1x + C1)/(x2 + ax + b) + (B2x + C2)/(x2 + ax + b)2 + ... + (Bix + Ci)/(x2 + ax + b)i


3. Die einzelnen Brüche werden auf den gemeinsamen Nenner h(x) gebracht und die Zähler addiert.

4. Es wird ein Koeffizientenvergleich zwischen dem entstanden Zähler und dem Zähler g(x) der ursprünglichen Funktion durchgeführt, um die Variablen(z.B. A1, B, C...) zu ermitteln.

5. Die ermittelten Variablen werden in den Ansatz eingesetzt.


Beispiel (reelle Nullstellen):

f(x) = 1/(x2 + x) = 1/(x(x + 1))
Nst.: (x(x + 1)) = 0; x1 = 0, x2 = -1

Ansatz: f(x) = A1/x  +  A2/(x + 1) = [A1(x + 1) + A2x]/[x(x + 1)] =
= [x(A1 + A2) + A1]/[x(x + 1)]

Koeffizientenvergleich:
x1: A1 + A2 = 0
x0: A1 = 1
=> A2 = -1

f(x) = 1/x  +  (-1)/(x + 1)

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