Integrieren
Stammintegral
Für die Integration gilt folgende Definition:
Stammintegral F(x) = ∫f(x)dx bzw. F'(x) = f(x)
daraus folgt:
∫f'(x)dx = f(x) + c
Eine Reihe wichtiger Stammintegrale:
∫1/x dx = ln|x| + c
∫xn dx = xn+1/(n+1) + c ; n≠-1
∫ax dx = ax/ln(a) + c
∫ex dx = ex + c
∫sin(x) dx = -cos(x) + c
∫cos(x) dx = sin(x) + c
∫1/cos2(x) dx = tan(x) + c
Mit Hilfe eines solchen Stammintegrals lässt sich die Integration am einfachsten durchführen. Auf eine Vielzahl von Funktionen lassen sich diese Stammintegrale jedoch nicht anwenden. Für solche Funktionen gibt es weitere Integrationsmethoden:
1. Integration durch Substitution
Die Integration durch Substitution ist praktisch die Umkehrung der Kettenregel des Differenzierens.
∫f'(g(x)) g'(x) dx = f(g(x)) + c
1. geeignete Substitution:
g(x) = z; dz/dx = g'(x) bzw. dx = dz/g'(x)
2. Einsetzen für dx:
∫f'(g(x)) · g'(x) dx = ∫f'(z) · g'(x) dz/g'(x)
3. Kürzen von g'(x)
∫f'(z) ? g'(x) dz/g'(x) = ∫f'(z)dz
4. Berechnen des neuen Integrals (mit Stammintegral)
∫f'(z)dz = F(z) + c
5. Rücksubstitution
F(z) = F(g(x))
Beispiel:
∫ex2 · x dx
1. Substitution
z = x2; dz/dx = 2x; dx = dz/2x
2. Einsetzen von dz/2x für dx
∫ez · x dz/2x
3. Kürzen von x
∫ez x dz/2x = ∫ez dz/2 = 1/2
· ∫ez dz
4. Berechnen des neuen Integrals (mit Stammintegral)
1/2 · ∫ez dz
= 1/2 · ez + c
5. Rücksubstitution
1/2 · ez + c = 1/2 · ex2 + c
2. Partielle Integration / Produktintegration
Allgemeine Formel:
∫f(x) dx = ∫u(x) · v'(x) dx = u(x) · v(x) - ∫u'(x) · v(x) dx
Diese Umwandlung ist dann sinnvoll, wenn sich die gegebene Funktion mit dieser Umwandlung so vereinfachen lässt, dass im neuen Integral ein Stammintegral steht. (eventuell auch mehrere Schritte nötig)
Beispiel:
∫x · sin(x) dx
u(x) = x; u'(x) = 1;
v'(x) = sin(x); v = -cos(x)
∫x · sin(x) dx
= x · (-cos(x)) - ∫1 · (-cos(x))
x · (-cos(x)) - ∫-cos(x)
x · (-cos(x)) + ∫cos(x)
Anwendung des Stammintegrals ∫cos(x) dx = sin(x) + c
x · (-cos(x)) + sin(x) + c
